(*Calculo las sumatorias, que convergen en una resta de dos arcotangentes hiperbólicas. Considero el radio del cilindro igual a 1, eso se traduce en la unidad de longitud utilizada. Tratamos el caso del cilindro con condición de borde V en 0≤φ<π y -V en π≤φ<2π (ϕ1), y el cilindro con V en 0≤φ<π/2 y π≤φ<3π/2, y -V en π/2≤φ<π y 3π/2≤φ<2π (ϕ2). Acá también, pensamos V=1*)
Sum[((Sin[(2n+1)φ])/(2n+1))(ρ^(2n+1)),{n,0,∞}]

Sum[((Sin[(4n+2)φ])/(4n+2))(ρ^(4n+2)),{n,0,∞}]

(*Acomodo los potenciales usando:*)
Cos[φ]=(x/(Sqrt[(x^2)+(y^2)]))
Sin[φ]=(y/(Sqrt[(x^2)+(y^2)]))
Cos[2φ]=(((Cos[φ])^2)-((Sin[φ])^2))=(((x^2)-(y^2))/((x^2)+(y^2)))
Sin[2φ]=2Sin[φ]Cos[φ]=((2x y)/((x^2)+(y^2)))

ϕ1[x_,y_]=(4/π)(1/2) I (ArcTanh[x-I y]-ArcTanh[x+I y]);
ϕ2[x_,y_]=(8/π)(1/4) I (ArcTanh[(x^2)-(y^2)-I 2x y]-ArcTanh[(x^2)-(y^2)+I 2x y ]);

(*Los dos campos son menos los gradientes de estos potenciales*)
Assuming[{x,y}∈Reals,FullSimplify[Grad[ϕ1[x,y],{x,y}]]]
Assuming[{x,y}∈Reals,FullSimplify[Grad[ϕ2[x,y],{x,y}]]]

E1[x_,y_]=-{((8 x y)/(π ((x^4)+2 (x^2) (-1+(y^2))+(((1+(y^2)))^2)))),((4-4 (x^2)+4 (y^2))/(π ((x^4)+2 (x^2) (-1+(y^2))+(((1+(y^2)))^2))))};
E2[x_,y_]=-{((8 (y+3 (x^4) y+2 (x^2) (y^3)-(y^5)))/(π ((x^8)+4 (x^6) (y^2)+(((-1+(y^4)))^2)+4 (x^2) (y^2) (3+(y^4))+(x^4) (-2+6 (y^4))))),((8 x (1-(x^4)+2 (x^2) (y^2)+3 (y^4)))/(π ((x^8)+4 (x^6) (y^2)+(((-1+(y^4)))^2)+4 (x^2) (y^2) (3+(y^4))+(x^4) (-2+6 (y^4)))))};

(*Graficamos superficies equipotenciales y líneas de campo*) 
Row[{Show[ContourPlot[ϕ1[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1},Contours->10,RegionFunction->Function[{x,y},0<x^2+y^2<1],PlotLegends->Automatic,FrameLabel->{"x","y"}],VectorPlot[E1[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1},RegionFunction->Function[{x,y},0<x^2+y^2<1],VectorScale->{Medium},VectorStyle->Red],ImageSize->300],Show[ContourPlot[ϕ2[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1},Contours->25,RegionFunction->Function[{x,y},0<x^2+y^2<1],PlotLegends->Automatic,FrameLabel->{"x","y"}],VectorPlot[E2[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1}, VectorPoints->{20,20},VectorScale->{Large},RegionFunction->Function[{x,y},0<x^2+y^2<1],VectorStyle->Red],ImageSize->300]}]

ϕ[r_,θ_]:=Which[r<1,((-3r)/5)LegendreP[1,Cos[θ]]+(r^3)(8/5)LegendreP[3,Cos[θ]],r≥1,((-3)/(5(r^2)))LegendreP[1,Cos[θ]]+(r^(-4))(8/5)LegendreP[3,Cos[θ]]]
Row[ContourPlot[ϕ[(Sqrt[(x^2)+(z^2)]),ArcTan[x,z]],{z,-2,2},{x,-2,2},Contours->25,ImageSize->300,AxesLabel->Automatic,PlotRange->All],Plot[{Cos[3θ],ϕ[1,θ]},{θ,0,π},ImageSize->300,Frame->True,FrameLabel->{"θ","Cos(3θ),ϕ(r=1,θ)"}]]